A p p l i c a t i o n
Sur R déjà muni de la multiplication et de l'addition, on définit la loi ∗ par :
a ∗ b = a + b + ab .
1. Montrez que ∗ est associative et commutative ; qu'elle possède un élément neutre.
Quels sont les éléments symétrisables ?
2. La loi ∗ est-elle distributive par rapport à la multiplication ? Est-elle distributive
par rapport à l'addition ?
S o l u t i o n
1. On a toujours :
a ∗ b = a + b + ab = b + a + ba = b ∗ a .
La loi ∗ est donc commutative.
Quels que soient les réels a,b,c, on a :
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + bc) = a + b + c + bc + a (b + c + bc)
= a + b + c + ab + bc + ca + abc.
Comme cette expression est invariante par permutation circulaire sur a,b,c, on obtiendra le même résultat en partant de (a ∗ b) ∗ c.
La loi ∗ est donc associative.
0 est élément neutre de ∗ car :
∀a ∈ R
a ∗ 0 = 0 ∗ a = a + 0 + a × 0 = a .
a sera symétrisable s'il existe b tel que :
0 = a ∗ b = a + b + ab = a + (a + 1) b ,
c'est-à-dire si a = / − 1. Le symétrique de a est alors
−a
a + 1
·
2. On a : a ∗ (bc) = a + bc + abc et (a ∗ b) (a ∗ c) = (a + b + ab) (a + c + ac) .
Ces deux résultats ne semblent pas être toujours égaux.
Le contre-exemple :
1 ∗ (1 × 1) = 3
;
(1 ∗ 1) × (1 ∗ 1) = 9 ,
prouve que ∗ n'est pas distributive par rapport à la multiplication.
On a : a ∗ (b+c) = a +b+c+a (b+c) et (a ∗ b)+(a ∗ c) = a +b+ab+a +c+ac.
Ces deux expressions sont égales si, et seulement si, a = 0. Comme elles ne sont pas
toujours égales, la loi ∗ n'est pas distributive par rapport à l'addition.
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F I C H E 6 – G r o u p e s
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