III Groupe symétrique
• Définition
L'ensemble S(E) des bijections d'un ensemble fini E à n éléments, muni de la loi
de composition des applications, est un groupe appelé groupe des permutations (ou
substitutions) de E.
Il est isomorphe à S n , groupe des permutations de l'intervalle {1,. . . ,n} de N,
appelé groupe symétrique d'ordre n.
• Décomposition d'une permutation en produit de cycles
Définition
Un cycle (ou permutation circulaire) d'ordre p est une permutation σ de E qui
laisse invariants n − p éléments de E, et telle que l'on puisse ranger les p éléments
restants (a 1 ,. . . ,a p ) de manière que :
σ(a 1 ) = a 2 , σ(a 2 ) = a 3 , . . . , σ(a p−1 ) = a p , σ(a p ) = a 1 .
On note σ = (a 1 ,. . . ,a p ) .
Théorème
Toute permutation de E est décomposable en produit de cycles disjoints, deux
cycles quelconques étant permutables.
• Signature d'une permutation
Transposition
On appelle transposition de E une permutation de E qui échange deux éléments de
E, et qui laisse invariants tous les autres. C'est donc un cycle d'ordre 2.
Parité d'une permutation
Toute permutation de E est décomposable en un produit de transpositions. Cette
décomposition n'est pas unique, mais, pour une permutation donnée, la parité du
nombre de transpositions est fixe.
Si ce nombre est pair, on dit que la permutation est paire.
Si ce nombre est impair, on dit que la permutation est impaire.
Signature d'une permutation
La signature d'une permutation σ est le nombre, noté ε(σ), égal à 1 si la permutation σ est paire, à −1 si σ est impaire.
Pour déterminer ε(σ), la méthode la plus rapide consiste à décomposer d'abord σ
en produit de cycles, puis à savoir qu'un cycle d'ordre p peut se décomposer en
p − 1 transpositions.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s