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F I C H E 6 – G r o u p e s
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Dans un groupe, tout élément est régulier (ou simplifiable), c'est-à-dire que l'on a
toujours :
x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z ; y ∗ x = z ∗ x ⇒ y = z .
Généralement, un groupe est noté additivement ou multiplicativement. Le symétrique x
de x est alors noté −x dans le premier cas, x
−1 dans le second.
• Sous-groupes
Définition
Une partie stable H d'un groupe G est un sous-groupe de G si la restriction à H de
la loi de G définit dans H une structure de groupe.
Propriété caractéristique
Pour qu'une partie non vide H d'un groupe G soit un sous-groupe de G, il faut et
il suffit que :
∀x ∈ H
∀y ∈ H
xy ∈ H et x
−1
∈ H
ou encore :
∀x ∈ H
∀y ∈ H
xy
−1
∈ H .
Propriété
L'intersection d'une famille de sous-groupes est un sous-groupe de G.
• Morphismes de groupes
Définitions
Soit G et G
deux groupes notés multiplicativement. Une application f, de G dans
G
, est un morphisme de groupes si, et seulement si,
∀x ∈ G
∀y ∈ G
f(x y) = f (x) f (y) .
Si, de plus, f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de groupes. Les deux
groupes sont alors isomorphes.
Composition
Le composé de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme (resp. isomorphisme) de groupes.
Noyau et image
Soit G et G
deux groupes notés multiplicativement, d'éléments neutres respectifs
e et e
, et f un morphisme de G dans G
. On a :
e
= f (e) ;
f (x
−1
) =
f (x)
−1 .
f (G) sous-groupe de G
appelé image de f et noté Im f.
N =
−1
f ({e
}) = {x ; x ∈ G, f (x) = e
} est un sous-groupe de G que l'on appelle le
noyau du morphisme f. On le note Ker f.
f est injectif si, et seulement si, Ker f = {e}.