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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Groupes
I Lois de composition interne
• Définition
Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application de E × E
dans E. À un couple (x,y), on associe donc un élément, noté x ∗ y, ou x + y, ou
xy, . . ., appelé composé de x et de y.
• Propriétés
– Une loi de composition interne ∗ sur E est :
• associative si :
∀x ∈ E ∀y ∈ E ∀z ∈ E
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ;
• commutative si :
∀x ∈ E ∀y ∈ E
x∗ y = y ∗ x
• Elle admet un élément neutre e si :
∃ e ∈ E ∀x ∈ E
x∗ e = e ∗ x = x .
Si l'élément neutre existe, il est unique.
– Un élément x est inversible (ou symétrisable) dans E, s'il existe x
∈ E (dit
inverse, ou symétrique, de x) tel que :
x ∗ x
= x
∗ x = e .
– Si ∗ et sont deux lois de composition interne de E, on dit que ∗ est distributive par rapport à , si l'on a toujours :
x ∗ (yz) = (x ∗ y)(x ∗ z) et (yz) ∗ x = (y ∗ x)(z ∗ x) .
II Groupes
• Définitions
Un ensemble non vide G, muni d'une loi ∗, est un groupe si :
– la loi est associative ;
– il existe un élément neutre e ;
– tout élément de G possède un symétrique dans G.
Si, de plus, la loi est commutative, le groupe est dit commutatif, ou abélien.
FICHE 6