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F I C H E 5 – E n t i e r s n a t u r e l s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
Montrez que, pour tout n ∈ N
∗ , 3 × 5
2n−1
+ 2
3n−2 est divisible par 17.
S o l u t i o n
Démontrons par récurrence, pour n ∈ N
∗ , la propriété P(n) :
α n = 3 × 5
2n−1
+ 2
3n−2 est divisible par 17.
Comme α 1 = 17, la propriété P(1) est vraie.
Supposons que P(k) soit vraie, et montrons que cela entraîne P(k + 1).
α k+1 = 3 × 5
2k+1
+ 2
3k+1
= 3 × 25 × 5
2k−1
+ 8 × 2
3k−2
= 8 (3 × 5
2k−1
+ 2
3k−2
) + 17 × 3 × 5
2k−1
= 8α k + 17 × 3 × 5
2k−1 .
α k étant divisible par 17, on en déduit que α k+1 est divisible par 17.
A p p l i c a t i o n
Démontrez par récurrence que :
n
i=1
(2i − 1)
2
=
1
3
n (4n
2
− 1) .
S o l u t i o n
Notons P(n) la propriété à démontrer.
Elle est vraie pour n = 1 car 1
2
=
1
3
(4 − 1).
Supposons que P(k) soit vraie, et montrons que cela entraîne P(k + 1).
k+1
i=1
(2i − 1)
2
=
1
3
k (4k
2
− 1) + (2k + 1)
2
=
1
3
(2k + 1)
2k
2
+ 5k + 3
=
1
3
(k + 1)(2k + 1)(2k + 3) =
1
3
(k + 1)
4(k + 1)
2
− 1
.
La propriété est donc démontrée pour tout n ∈ N
∗ .