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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Entiers naturels
I Nombres entiers naturels
• Propriétés fondamentales de N
L'ensemble N des entiers naturels est totalement ordonné et vérifie les trois propriétés suivantes :
toute partie non vide de N a un plus petit élément ;
toute partie non vide majorée de N a un plus grand élément ;
N n'a pas de plus grand élément.
• Raisonnement par récurrence
Soit E(n) un énoncé qui dépend d'un entier naturel n.
Si E(0) est vrai, et si, quel que soit k 0, l'implication E(k) ⇒ E(k + 1) est
vraie, alors l'énoncé E(n) est vrai pour tout entier n.
II Ensembles finis
• Définition
Un ensemble E est fini s'il existe une bijection d'un intervalle {1,. . . ,n} de N sur E.
Le nombre n est le cardinal (ou nombre d'éléments) de E. On le note n = card E.
On convient que l'ensemble vide est fini, et que card Ø = 0.
• Inclusion
Soit E un ensemble fini. Toute partie A de E est finie, et on a :
card A card E
l'égalité des cardinaux ayant lieu si, et seulement si, A = E.
• Applications
Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal, et f une application de E dans
F. On a l'équivalence des trois propriétés :
f bijective ⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective.
Dans ce cas, pour démontrer que f est bijective, il suffit de démontrer, soit que f est
injective, soit que f est surjective.
FICHE 5
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Entiers naturels
I Nombres entiers naturels
• Propriétés fondamentales de N
L'ensemble N des entiers naturels est totalement ordonné et vérifie les trois propriétés suivantes :
toute partie non vide de N a un plus petit élément ;
toute partie non vide majorée de N a un plus grand élément ;
N n'a pas de plus grand élément.
• Raisonnement par récurrence
Soit E(n) un énoncé qui dépend d'un entier naturel n.
Si E(0) est vrai, et si, quel que soit k 0, l'implication E(k) ⇒ E(k + 1) est
vraie, alors l'énoncé E(n) est vrai pour tout entier n.
II Ensembles finis
• Définition
Un ensemble E est fini s'il existe une bijection d'un intervalle {1,. . . ,n} de N sur E.
Le nombre n est le cardinal (ou nombre d'éléments) de E. On le note n = card E.
On convient que l'ensemble vide est fini, et que card Ø = 0.
• Inclusion
Soit E un ensemble fini. Toute partie A de E est finie, et on a :
card A card E
l'égalité des cardinaux ayant lieu si, et seulement si, A = E.
• Applications
Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal, et f une application de E dans
F. On a l'équivalence des trois propriétés :
f bijective ⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective.
Dans ce cas, pour démontrer que f est bijective, il suffit de démontrer, soit que f est
injective, soit que f est surjective.
FICHE 5