A p p l i c a t i o n
Dans N × N, on définit la relation ≺ par :
∀(a,b) ∈ N
2
∀(a
,b
) ∈ N
2
(a,b) ≺ (a
,b
) ⇐⇒ a a
et b b
.
1. Montrez qu'il s'agit d'une relation d'ordre. Cet ordre est-il total ?
2. Soit A = {(1,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,3),(4,4),(5,5)} .
Déterminez des minorants de A, des majorants de A.
A admet-elle un plus grand élément ? un plus petit élément ? une borne supérieure ?
une borne inférieure ?
S o l u t i o n
1. Pour tout (a,b) ∈ N
2 , on a a a et b b, soit (a,b) ≺ (a,b).
La relation ≺ est donc réflexive.
Pour tout (a,b) ∈ N
2 et (a
,b
) ∈ N
2 , si (a,b) ≺ (a
,b
) et (a
,b
) ≺ (a,b), alors
(a,b) = (a
,b
).
La relation ≺ est donc antisymétrique.
Pour tout (a,b) ∈ N
2 , (a
,b
) ∈ N
2 , (a
,b
) ∈ N
2 , si (a,b) ≺ (a
,b
) et
(a
,b
) ≺ (a
,b
) , de a a
et a
a
, on déduit a a
, puis de même b b
. On
obtient ainsi (a,b) ≺ (a
,b
).
La relation ≺ est donc transitive.
Par conséquent, ≺ est une relation d'ordre.
Cet ordre n'est pas total car, par exemple, (1,2) et (2,1) ne sont pas comparables
pour ≺.
2. Tous les éléments (a,b) de A vérifient (a,b) ≺ (5,5), et (5,5) est un élément de A.
C'est donc le plus grand élément de A. C'est aussi la borne supérieure de A.
Si (a,b) est un minorant de A, de (a,b) ≺ (1,2), on déduit a 1 ; de (a,b) ≺ (3,1),
on déduit b 1 ; d'où (a,b) ≺ (1,1).
Réciproquement, tout couple (a,b) tel que (a,b) ≺ (1,1) est un minorant de A.
L'ensemble des minorants de A est donc :
M = {(a,b) ∈ N
2
; a 1 et b 1} .
Comme aucun élément de A n'appartient à cet ensemble, A n'admet pas de plus petit
élément.
Comme (1,1) majore M, c'est la borne inférieure de A.
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F I C H E 4 – R e l a t i o n s b i n a i r e s
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