A p p l i c a t i o n
Dans ] 0,+∞ [, montrez que la relation R définie par :
x R y ⇐⇒ x ln y = y ln x ,
est une relation d'équivalence.
Pour chaque x, précisez le nombre d'éléments de sa classe d'équivalence.
S o l u t i o n
Dans ] 0,+∞ [, on peut écrire :
x R y ⇐⇒
ln x
x
=
ln y
y
⇐⇒ f (x) = f (y) ,
où f est la fonction de ] 0,+∞ [ dans R définie par f (x) =
ln x
x
et de classe C
1 sur son
intervalle de définition.
R est donc la relation d'équivalence associée à f.
Pour préciser les classes d'équivalence, étudions les variations de f. On a :
∀ x ∈ ] 0,+∞ [
f
(x) =
1 − ln x
x 2
On en déduit le tableau de variation de la fonction f :
22
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
x
0
1
e
+ ∞
f
+
0
−
1
e
f
0
−∞
0
La lecture de ce tableau, et le théorème des valeurs intermédiaires des fonctions continues, nous permet de répondre à la question posée.
– Si x ∈ ] 0,1 ] ou si x = e, la classe d'équivalence de x est réduite à x.
– Si x ∈ ] 1,e [ ∪ ] e,+∞ [, la classe d'équivalence de x comporte deux éléments.