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F I C H E 4 – R e l a t i o n s b i n a i r e s
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III Relations d'ordre
• Définitions
Une relation binaire R , définie dans un ensemble E, est une relation d'ordre si elle
est, à la fois, réflexive, antisymétrique et transitive.
On la note ≺.
Une relation d'ordre ≺ dans E est dite relation d'ordre total si deux éléments
quelconques x et y de E sont toujours comparables, c'est-à-dire si l'on a x ≺ y
ou y ≺ x.
Dans le cas contraire, l'ordre est partiel.
Exemples
est un ordre total dans R. ⊂ est un ordre partiel dans P(E).
• Éléments particuliers
Soit A une partie d'un ensemble ordonné E.
– S'il existe un élément a de E tel que, pour tout x ∈ A, on ait x ≺ a, on dit que a
est un majorant de A, que A est une partie majorée de E.
De même, un élément b de E est un minorant de A si b ≺ x pour tout x de A.
On dit alors que A est une partie minorée de E.
Une partie bornée de E est une partie qui est à la fois majorée et minorée.
– Un élément a de E est appelé plus grand élément de A si a ∈ A et si a est un
majorant de A. Si un tel élément existe, il est unique.
De même, un élément b de E est le plus petit élément de A si b ∈ A et si b est
un minorant de A.
– On appelle borne supérieure d'une partie majorée A, le plus petit des majorants
de A, et borne inférieure d'une partie minorée A le plus grand des minorants
de A.
Si ces bornes existent, elles sont uniques.
– Dans (R,), pour démontrer que a est la borne supérieure de A, on démontre
souvent :
• que c'est un majorant, soit x a pour tout x ∈ A ;
• que, pour tout ε > 0 , a − ε n'est pas un majorant, c'est-à-dire qu'il existe x ∈ A
tel que a − ε < x.