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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Relations binaires
I Généralités
• Définition
Choisir une partie de E × E, c'est définir une relation binaire R sur E. Si
(x,y) ∈ , on dit que x et y sont en relation, et on note xRy.
• Propriétés
Une relation binaire R , définie sur un ensemble E, est :
– réflexive si elle vérifie :
∀x ∈ E xRx ;
– symétrique si :
∀x ∈ E ∀y ∈ E xRy ⇒ yRx ;
– antisymétrique si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes :
∀x ∈ E ∀y ∈ E
(xRy et yRx) ⇒ x = y ,
∀x ∈ E ∀y ∈ E
(xRy et x = / y) ⇒ non (yRx) .
– transitive si elle vérifie :
∀x ∈ E ∀y ∈ E ∀z ∈ E
(xRy et yRz) ⇒ xRz .
II Relations d'équivalence
• Définition
Une relation binaire R , définie sur un ensemble E, est une relation d'équivalence
si elle est, à la fois, réflexive, symétrique et transitive.
Si x ∈ E, on appelle classe d'équivalence de x, modulo R , l'ensemble des y de E
tels que xRy.
• Classes d'équivalence et partition
L'ensemble des classes d'équivalence de R constitue une partition de E.
Réciproquement, si on se donne une partition de E, la relation « x et y appartiennent au même élément de la partition » est une relation d'équivalence sur E.
Si f est une application de E dans F, la relation binaire x R x
définie par
f (x) = f (x
) est une relation d'équivalence dans E. Les classes d'équivalence sont
les images réciproques
−1
f ({y}) des parties à un élément de F.
FICHE 4