A p p l i c a t i o n
Soit f une application de E dans E. Montrez que :
f injective ⇐⇒
∀ (X,Y ) ∈ (P (E))
2
f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y )
.
S o l u t i o n
On sait que l'on a toujours :
f (X ∩ Y ) ⊂ f (X) ∩ f (Y ) .
Mais y a-t-il égalité ? Considérons, par exemple, la fonction f, de R dans R, définie
par f (x) = x
2 .
On a f
[0,1] ∩ [−1,0]
= f
{0}
= { f (0)} = {0}.
Mais f
[0,1]
∩ f
[−1,0]
= [0,1] , ce qui montre un cas où l'inclusion est stricte.
• Supposons f injective et (X,Y ) ∈ (P (E))
2 .
Soit z ∈ f (X) ∩ f (Y ). Il existe donc x ∈ X tel que z = f (x) , et y ∈ Y tel que
z = f (y) .
Comme f est injective, de f (x) = f (y), on déduit x = y .
Cet élément appartient à la fois à X et à Y, donc à X ∩ Y.
On a z ∈ f (X ∩ Y ), ce qui prouve que f (X) ∩ f (Y ) ⊂ f (X ∩ Y ), et donc
f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ).
• Réciproquement, supposons que :
∀(X,Y ) ∈ (P (E))
2
f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ) ,
et montrons que f est injective.
Pour ceci, considérons des éléments x et y de E tels que f (x) = f (y), et montrons que
x = y .
Soit X = {x} et Y = {y}. On a f (X) = { f (x)} et f (Y ) = { f (y)}.
D'où f (X) ∩ f (Y ) = { f (x)} = f (X ∩ Y ) d'après l'hypothèse.
Il vient X ∩ Y = {x} ∩ {y} = / ∅, soit x = y . f est donc injective.
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F I C H E 3 – A p p l i c a t i o n s
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