A p p l i c a t i o n
f, g, h sont trois applications de l'ensemble E dans lui-même. Montrez que :
g ◦ f et h ◦ g bijectives ⇒ f, g, h bijectives.
S o l u t i o n
Supposons g ◦ f et h ◦ g bijectives.
De g ◦ f surjective, on déduit g surjective. De h ◦ g injective, on déduit g injective.
Donc g est bijective.
g
−1
◦ (g ◦ f ) = f est donc bijective, ainsi que h = (h ◦ g) ◦ g
−1 comme composées
de bijections.
A p p l i c a t i o n
Soit f l'application de R
2 dans R
2 définie par f (x,y) = (X,Y ) avec :
X =
x + y
Y = 2x + y
3
.
1. f est-elle surjective?
2. f est-elle injective?
S o l u t i o n
1. f est surjective si, pour tout élément (X,Y ) de R
2 , il existe toujours (x,y) ∈ R
2 tel
que f (x,y) = (X,Y ).
On a nécessairement x = X − y , puis, en reportant :
Y = 2 (X − y) + y
3 , soit y
3
− 2y + 2X − Y = 0 .
La fonction ϕ définie par ϕ(y) = y
3
− 2y + 2X − Y est continue, négative lorsque y
tend vers −∞ , positive lorsque y tend vers +∞ .
Il existe donc au moins un réel y tel que ϕ(y) = 0.
Comme il existe toujours y et x, f est surjective.
2. On a f (1,0) = (1,2). Existe-t-il un autre couple (x,y) ∈ R
2 tel que
f (x,y) = (1,2) ? Ceci est équivalent à :
x = 1 − y et y
3
− 2y = 0 .
Pour obtenir un nouvel élément, il suffit de prendre y =
√
2 et x = 1 −
√
2.
On obtient donc f (1 −
√
2,
√
2) = f (1,0) .
Un exemple de deux éléments distincts ayant la même image démontre que f n'est pas
injective.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s