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F I C H E 3 – A p p l i c a t i o n s
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• Application surjective
Une application f de E dans F est dite surjective (ou est une surjection) si tout élément y de F est l'image d'au moins un élément x de E, soit :
∀y ∈ F ∃ x ∈ E y = f (x) .
• Application bijective
Une application f de E dans F est dite bijective (ou est une bijection) si elle est à
la fois injective et surjective. Dans ce cas, tout élément y de F est l'image d'un, et
un seul, élément x de E.
À tout y de F, on associe ainsi un x unique dans E noté f
−1
(y).
f
−1 est la bijection réciproque de f. On a donc :
x = f
−1
(y) ⇐⇒ y = f (x) ,
ce qui entraîne f ◦ f
−1
= I d F et f
−1
◦ f = I d E .
• Théorème
Soit f une application de E dans F, et g une application de F dans G. On a les
implications qui suivent.
– Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective.
– Si g ◦ f est injective, alors f est injective.
– Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective.
– Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.
– Si f et g sont bijectives, alors g ◦ f est bijective, et (g ◦ f )
−1
= f
−1
◦ g
−1 .
III Image directe et image réciproque
• Définitions
Soit f une application de E dans F.
Si A ⊂ E, on appelle image de A par f, la partie de F constituée par les images des
éléments de A :
f (A) = { f (x) ; x ∈ A} .
Si B ⊂ F, on appelle image réciproque de B, la partie de E constituée par les x
dont l'image est dans B :
−1
f (B) = {x ∈ E ; f (x) ∈ B} .
• Théorème
A 1 ⊂ A 2 ⇒ f (A 1 ) ⊂ f (A 2 ) ; B 1 ⊂ B 2 ⇒
−1
f (B 1 ) ⊂
−1
f (B 2 )
f (A 1 ∪ A 2 ) = f (A 1 ) ∪ f (A 2 ) ; f (A 1 ∩ A 2 ) ⊂ f (A 1 ) ∩ f (A 2 ) ;
−1
f (B 1 ∪ B 2 ) =
−1
f (B 1 ) ∪
−1
f (B 2 ) ;
−1
f (B 1 ∩ B 2 ) =
−1
f (B 1 ) ∩
−1
f (B 2 ) .