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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Applications
I Généralités
• Définitions
Une application f est définie par son ensemble de départ E, son ensemble d'arrivée F, et une relation qui permet d'associer à tout x ∈ E un élément unique y
dans F. On le note f (x) .
Les applications de E dans F forment un ensemble noté F(E,F).
L'application identité de E est l'application de E dans E définie par x → x. On la
note I d E .
• Restriction, prolongement
Soit f une application de A dans F, et g une application de B dans F.
Si A ⊂ B et si, pour tout x de A, on a f (x) = g(x) , on dit que f est une restriction
de g, ou que g est un prolongement de f.
• Composition des applications
Soit E, F, G trois ensembles, f une application de E dans F, g une application
de F dans G.
La composée de f et de g est l'application de E dans G définie par :
x → g
f (x)
= (g ◦ f )(x) .
II Injections, surjections, bijections
• Application injective
Une application f de E dans F est dite injective (ou est une injection) si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes :
∀x ∈ E ∀x
∈ E
x = / x
⇒ f (x) = / f (x
)
∀x ∈ E ∀x
∈ E
f(x) = f (x
) ⇒ x = x
.
FICHE 3
Ne confondez pas avec la définition d'une application qui s'écrit :
∀x ∈ E ∀x
∈ E
x = x
⇒ f (x) = f (x
)
∀x ∈ E ∀x
∈ E
f(x) /
= f (x
) ⇒ x /
= x