A p p l i c a t i o n
Extrait d'un concours ESIEE ; réponse par QCM, le nombre de réponses exactes
n'est pas fixé.
Soit E = {1,2,3,4}. Si X est un sous-ensemble de E , on note X le complémentaire de
X dans E .
Pour tous sous-ensembles X,Y,Z de E , différents du vide et de E , on a :
1. si X ∩ Y = / Ø et Y ∩ Z = Ø alors X ∩ Z = / Ø ;
2. si X ⊂ Y et Y ∩ Z = Ø alors X ∩ Z = Ø ;
3. si X ∩ Y = / Ø et Z ⊂ Y alors X ∩ Z = / Ø ;
4. si X ∩ Y = Ø et Y ∩ Z = / Ø alors X ∩ Z = / Ø ;
5. si X ⊂ Y et Y ∩ Z = / Ø alors X ⊂ Z.
S o l u t i o n
Réponses vraies : 1. 4.
Si Y ∩ Z = Ø , on a Y ⊂ Z, donc X ∩ Y ⊂ X ∩ Z. Si X ∩ Y = / Ø, on a donc
X ∩ Z = / Ø, donc 1. est vraie.
Le contre-exemple X = {1}, Y = {1,2,3}, Z = {1,2} montre que 2. est fausse.
Le contre-exemple X = {1,2}, Y = {1,3} , Z = {1,3,4} montre que 3. est fausse.
Si X ∩ Y = Ø, on a Y ⊂ X, donc Y ∩ Z ⊂ X ∩ Z . Si Y ∩ Z = / Ø, on a donc
X ∩ Z = / Ø, donc 4. est vraie.
Le contre-exemple X = {1,2}, Y = {1,3,4}, Z = {4} montre que 5. est fausse.
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F I C H E 2 – L a n g a g e d e s e n s e m b l e s
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