A p p l i c a t i o n
Soit E un ensemble. Caractérisez les parties A, B, C de E telles que :
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C .
S o l u t i o n
On cherche une condition nécessaire et suffisante sur (A,B,C) élément de (P (E))
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pour que :
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C
(1) .
Supposons la condition (1). On a alors A ⊂ A ∪ (B ∩ C) ⊂ C. Par conséquent,
A ⊂ C est une condition nécessaire pour que l'on ait (1).
Réciproquement, supposons que A ⊂ C. On a alors :
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = A ∪ (B ∩ C) ,
ce qui est la condition (1).
Une condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait (1) est donc A ⊂ C.
A p p l i c a t i o n
Soit E un ensemble, et A, B, C trois parties de E telles que :
A ∪ B ⊂ A ∪ C et A ∩ B ⊂ A ∩ C.
Comparez B et C.
S o l u t i o n
Suposons que
A ∪ B ⊂ A ∪ C
(1)
A ∩ B ⊂ A ∩ C
(2).
Quelques essais vous permettront d'imaginer que B ⊂ C ; mais il faut le démontrer.
Soit x ∈ B ; montrons que x ∈ C .
Si x ∈ A, alors x ∈ A ∩ B. De l'inclusion (2), on déduit que x ∈ A ∩ C, donc x ∈ C .
Si x /
∈ A, comme x appartient à A ∪ B, donc à A ∪ C d'après (1), on obtient
encore x ∈ C .
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s