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F I C H E 2 – L a n g a g e d e s e n s e m b l e s
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Une partition d'un ensemble E est une famille de parties non vides de E, deux à
deux disjointes, et dont la réunion est E.
II Propriétés des opérations
dans P(E)
Pour toutes parties A, B et C de E, on a les propriétés qui suivent.
• Complémentaire
E = card Ø ; card Ø = E ; A = A ; si A ⊂ B alors B ⊂ A .
• Lois de de Morgan
A ∩ B = A ∪ B ; A ∪ B = A ∩ B .
• Réunion
A ∪ B = B ∪ A ; A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∪ A = A ; A ∪ card Ø = A ; A ∪ E = E .
• Intersection
A ∩ B = B ∩ A ; A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ;
A ∩ A = A ; A ∩ card Ø = card Ø ; A ∩ E = A .
• Réunion et intersection
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ;
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
III Produit cartésien
Le produit des ensembles A et B est l'ensemble, noté A × B, des couples (a,b) où
a ∈ A et b ∈ B.
Attention, le couple (b, a) est différent du couple (a, b), sauf si a = b .
Plus généralement, le produit cartésien de n ensembles E i est :
E 1 × · · · × E n = {(x 1 ,. . . ,x n ) ; x 1 ∈ E 1 ,. . . ,x n ∈ E n } .
Si E 1 = · · · = E n = E , on le note E
n .