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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Langage
des ensembles
I Ensembles
• Notion d'ensemble
La notion d'ensemble est considérée comme primitive. Retenons que la caractérisation d'un ensemble E doit être nette, c'est-à-dire que, pour tout élément x, on doit
pouvoir affirmer : ou bien qu'il est dans E (x ∈ E), ou bien qu'il n'y est pas (x /
∈ E).
On note card Ø l'ensemble vide, c'est-à-dire l'ensemble qui ne contient aucun élément.
E et F étant des ensembles, on dit que E est inclus dans F si, et seulement si, tous
les éléments de E appartiennent aussi à F. On note E ⊂ F.
On dit aussi que E est une partie de F, ou que F contient E.
L'ensemble des parties de E se note P(E). Dire que A ∈ P(E) signifie que
A ⊂ E.
• Opérations dans P(E)
Soit E un ensemble. A et B étant des parties de E, on définit :
– le complémentaire de A dans E :
A = {x ∈ E ; x /
∈ A} ;
– l'intersection de A et de B :
A ∩ B = {x ∈ E ; x ∈ A et x ∈ B} ;
Si A ∩ B = card Ø , c'est-à-dire s'il n'existe aucun élément commun à A et B, on
dit que les parties A et B sont disjointes ;
– la réunion de A et de B :
A ∪ B = {x ∈ E ; x ∈ A ou x ∈ B}.
Ce « ou » a un sens inclusif c'est-à-dire que A ∪ B est l'ensemble des éléments x
de E qui appartiennent à l'une au moins des parties A et B.
– la différence :
A \ B = {x ∈ E ; x ∈ A et x /
∈ B} = A ∩ B ;
– la différence symétrique :
AB = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) .
AB est l'ensemble des éléments qui appartiennent à une, et une seule, des parties A et B.
• Recouvrement, partition
Un recouvrement d'une partie A de E est une famille de parties de E dont la
réunion contient A.
FICHE 2