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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Arithmétique dans Z
I Divisibilité dans Z
• Division euclidienne
Pour tout (a,b) ∈ Z × N
∗ , il existe un élément unique (q,r) ∈ Z × N tel que :
a = bq + r avec 0 r < b .
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
• Divisibilité
Si (a,b) ∈ Z × Z, on dit que b divise a si, et seulement si, il existe q ∈ Z tel
que a = bq.
On dit alors que a est un multiple de b, ou que b est un diviseur de a.
La relation de divisibilité est une relation d'ordre partiel dans N.
• Nombres premiers
Définition
Un entier p est premier si p 2, et si ses seuls diviseurs sont 1 et p.
Propriétés
Il y a une infinité de nombres premiers.
Si n n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à
√
n, alors il est
premier.
Tout entier n, avec n 2, s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers.
II pgcd et ppcm
• pgcd
Définition
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. L'ensemble des nombres de N
∗ qui divisent à la fois a et b, admet un plus grand élément d, pour la relation d'ordre de divisibilité.
C'est le plus grand commun diviseur de a et de b. On le note PGCD (a,b), ou a ∨ b.
FICHE 8