A p p l i c a t i o n
La courbe d'équation polaire ρ = cos
3
θ
3
a l'allure qui suit. On obtient toute la
courbe avec θ ∈ [0,3π] . Calculez la longueur de la courbe.
158 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
y
x
0
1
Figure 30.2
S o l u t i o n
Avec le repère mobile associé aux coordonnées polaires, on a :
− − →
O M = cos
3
θ
3
− → u (θ) .
La dérivation par rapport au paramètre θ donne :
d
− − →
O M
dθ
= − cos
2
θ
3
sin
θ
3
− → u (θ) + cos
3
θ
3
− → v (θ)
d'où :
d
− − →
O M
dθ
= cos
2
θ
3
=
ds
dθ
puis :
L =
3π
0
cos
2
θ
3
dθ =
3π
0
1
2
1 + cos
2θ
3
dθ =
3π
2
.
On peut aussi obtenir ce résultat en partant de ds =
√
ρ 2 + ρ 2 dθ