A p p l i c a t i o n
1. Calculez la longueur de l'arche de cycloïde :
x = t − sin t
y = 1 − cos t
0 t 2π
2. Pour un point M de la courbe, déterminez le repère de Frenet, le rayon de courbure
et le centre de courbure.
S o l u t i o n
1. De x
(t) = 1 − cos t et y
(t) = sin t, on déduit :
x
2
(t) + y
2
(t) = 2 (1 − cos t) = 4 sin
2 t
2
·
Pour t ∈ [0,2π] , on a
t
2
∈ [0,π], d'où sin
t
2
0. La longueur cherchée est donc :
L =
2π
0
2 sin
t
2
dt =
− 4 cos
t
2
2π
0
= 8 .
L'arc étudié a pour allure :
156 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
2
2
1,5
1
0,5
4
6
y
x
Figure 30.1
2. Pour t ∈]0,2π[, la tangente en M(t) est dirigée par le vecteur
x
− →
i + y
− →
j = 2 sin
t
2
sin
t
2
− →
i + cos
t
2
− →
j
On a donc
ds
dt
= 2 sin
t
2
et, le repère de Frenet étant orthonormal direct :
− →
T = sin
t
2
− →
i + cos
t
2
− →
j ;
− →
N = − cos
t
2
− →
i + sin
t
2
− →
j