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F I C H E 3 0 – L o n g u e u r d e s a r c s , c o u r b u r e
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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0
• Formules de Frenet
En un point birégulier, on a :
d
− →
T
ds
= γ
− →
N ;
d
− →
N
ds
= −γ
− →
T
où γ est la courbure de au point M.
• Repérage angulaire
Si α est l'angle
− →
i ,
− →
T
, on a γ =
dα
ds
.
• Rayon de courbure
En un point birégulier M, la courbure est non nulle et R =
1
γ
s'appelle rayon de
courbure de en M. On a :
en coordonnées paramétriques :
R =
(x
2
+ y
2
)
3
2
x y − y x
en coordonnées polaires :
R =
(ρ
2
+ ρ
2
)
3
2
ρ 2 + 2ρ 2 − ρρ
En un point birégulier, ces dénominateurs sont non nuls.
Le centre de courbure en M est le point I défini par
− →
M I = R
− →
N .