154 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Longueur des arcs,
courbure
I Longueur d'un arc de courbe
Soit un arc de courbe de classe C
2 admettant une représentation paramétrique
M(t) =
x(t),y(t),z(t)
, avec t ∈ [a,b] , dans un repère orthormal
O,
− →
i ,
− →
j ,
− →
k
de l'espace.
En un point régulier,
− →
T =
− − →
O M
(t)
− − →
O M (t)
est un vecteur unitaire qui dirige la tangente en M à .
L'arc est orienté par le choix de l'un des deux sens de parcours possibles, ce qui
revient à distinguer les vecteurs unitaires tangents (opposés)
− →
T + et
− →
T − .
L'abscisse curviligne s est un paramétrage de tel que
d
− − →
O M
ds
soit unitaire.
La longueur de est :
L =
b
a
x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) dt .
Elle est indépendante du paramétrage choisi.
On note souvent ds =
x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) dt où s est l'abscisse curviligne.
II Courbure d'une courbe plane
• Repère de Frenet
Soit
− →
N tel que (M,
− →
T ,
− →
N ) soit orthonormal direct. Ce repère est appelé repère de
Frenet au point M.
FICHE 30