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F I C H E 2 9 – C o u r b e s e n c o o r d o n n é e s p o l a i r e s
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II Étude locale
• Tangente en un point
En M(θ) = / O , admet une tangente dirigée par le vecteur
− →
T = ρ
(θ) − → u + ρ(θ) − → v .
En M(θ 0 ) = O , admet une tangente d'angle polaire θ 0 .
• Points d'inflexion
Les points d'inflexion de correspondent aux valeurs de θ pour lesquelles l'une
des deux expressions suivantes s'annule en changeant de signe, avec ρ = / 0 :
ρ
2
+ 2ρ
2
− ρρ
;
1
ρ
+
1
ρ
.
III Branches infinies
• Si θ → ±∞ et ρ = f (θ) → ±∞ , la courbe présente une spirale.
• Si θ → ±∞ et ρ = f (θ) → a (avec a ∈ R), alors le cercle de centre O et de
rayon |a|est asymptote à la courbe .
• Si θ → θ 0 et ρ = f (θ) → ±∞ , alors l'axe O X d'angle θ 0 est une direction
asymptotique de .
Dans le repère orthonormal direct (O X,OY ), l'ordonnée de M s'écrit
Y = ρ(θ) sin (θ − θ 0 ) et on étudie sa limite lorque θ tend vers θ 0 .
– Si lim
θ→θ 0
ρ(θ) sin (θ − θ 0 ) = l (limite finie), alors admet pour asymptote la
droite Y = l.
Attention en traçant la droite Y = l à bien utiliser le nouveau repère (OX , OY ).
– Si lim
θ−→θ 0
ρ(θ) sin (θ − θ 0 ) = ±∞ , alors la droite d'équation polaire θ = θ 0 est une
branche parabolique de .