150 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Courbes en
coordonnées
polaires
I Généralités
• Représentation polaire
Soit
O, − → e 1 , − → e 2
un repère orthonormal du plan. À tout point M, distinct de O, on
peut associer des coordonnées polaires (ρ,θ) telles que
− − →
O M = ρ − → u .
O, − → u , − → v
est le repère polaire orthormal lié à M et défini par :
( − → e 1 , − → u ) = θ ; ( − → u , − → v ) =
π
2
·
FICHE 29
Il n'y a pas unicité des coordonnées polaires d'un point. Si k ∈ Z, alors (ρ, θ + 2kπ) et
(−ρ, θ + π + 2kπ) repèrent le même point M.
Le point O est repéré par ρ = 0 et θ quelconque.
Une courbe en coordonnées polaires est l'ensemble des points M du plan dont les
coordonnées polaires sont liées par une relation du type ρ = f (θ) où f est une fonction de R dans R dérivable autant de fois qu'il sera nécessaire.
• Domaine d'étude
Soit la courbe d'équation polaire ρ = f (θ) et D l'ensemble de définition de f.
On détermine d'abord un domaine de représentation propre, c'est-à-dire une partie
D 1 de D telle que la courbe géométrique soit entièrement décrite, une fois et une
seule, lorsque θ décrit D 1 .
Si f est paire, est symétrique par rapport à l'axe des abscisses et il suffit de faire
l'étude sur D 1 ∩ R + .
Si f est impaire, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et il suffit de
faire l'étude sur D 1 ∩ R + .