A p p l i c a t i o n
Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormal, on considère la courbe
paramétrée C :
x(t) = 3t
2
y(t) = 2t
3
t ∈ R
Déterminez les droites qui sont à la fois tangentes et normales à C .
S o l u t i o n
Comme x
(t) = 6t et y
(t) = 6t
2 , tout point de C
tel que t = / 0 est régulier et la tangente en M(t)
a pour vecteur directeur
1
t
.
La tangente D t en M(t) admet donc pour équation :
t x − y − t
3
= 0 .
Si D t recoupe C en N (u), le paramètre u vérifie
l'équation :
3tu
2
− 2u
3
− t
3
= 0 .
Le polynôme en u du premier membre est de
degré 3 et il admet t comme racine double
puisque la droite est tangente en M(t).
On peut donc le factoriser et l'équation précédente s'écrit :
(u − t)
2
(2u + t) = 0 .
La droiteD t recoupe donc C en N
−
t
2
. Elle est normale à C en ce point si, et seulement si, les vecteurs
1
t
et
1
−
t
2
sont orthogonaux, donc si t
2
= 2 .
Les droites qui sont à la fois normales et tangentes à C admettent donc pour équations :
y =
√
2(x − 2) ; y = −
√
2(x − 2) .
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F I C H E 2 8 – C o u r b e s p a r a m é t r é e s
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2
8
y
N
M
Dt
x
O
Figure 28.8