2. Points singuliers
présente un point singulier pour t = 0 car x
(0) = y
(0) = 0. Il s'agit du point O.
On peut déterminer la nature de ce point singulier à l'aide de développements limités
de x(t) et de y(t) au voisinage de t = 0 :
x(t) = t
2
+ 3t
3
+ o(t
3
) , y(t) = t
3
+ o(t
3
) .
Donc
− − →
O M = t
2 − →
i + t
3
(3
− →
i +
− →
j ) + t
3− → ε (t) avec lim
t→0
− → ε (t) =
− →
0 .
Par identification avec la formule de Taylor-Young, on en déduit :
− →
F
(0) = 2
− →
i ,
− →
F
(3)
(0) = 6(3
− →
i +
− →
j ) .
La courbe admet donc au point O une tangente dirigée par
− →
i . Et il s'agit d'un point
de rebroussement de première espèce car p = 2 et q = 3 .
3. Branches infinies
• lim
t→±∞
y(t)
x(t)
= 0,5 ;
lim
t→±∞
y(t) − 0,5x(t)
= ±∞
Donc, lorsque t tend vers −∞ ou +∞ , la courbe a une direction asymptotique de
coefficient directeur 0,5, mais n'a pas d'asymptote.
• lim
t→1
y(t)
x(t)
=
1
3
; lim
t→1
y(t) −
1
3
x(t)
= −
1
3
·
Lorsque t tend vers 1, la courbe admet donc pour asymptote la droite d'équation
y =
1
3
x −
1
3
·
4. Courbe représentative
Pour voir l'allure locale de la courbe au voisinage du point singulier, il faut faire un
zoom.
148 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
20
20
10
0
10
– 10
– 10
– 20
– 20
– 30
– 30
Figure 28.6
0,1
0,05
– 0,05
0,05
– 0,05
0
– 0,1
0,1
– 0,1
Figure 28.7