A p p l i c a t i o n
Soit l'arc paramétré :
x(t) =
t
2
+ 2t
3
1 − t
; y(t) =
t
3
1 − t
; t ∈ R \ {1}
Étudiez :
1. les variations de x(t) et de y(t) ;
2. les points singuliers de ;
3. les branches infinies de .
4. Construisez la courbe représentative de .
S o l u t i o n
1. Variations de x et de y
Les fonctions x et y sont définies et indéfiniment dérivables sur R \ {1}.
x
(t) =
−4t
3
+ 5t
2
+ 2t
(1 − t) 2
est du signe de t (−4t
2
+ 5t + 2) et le trinôme
−4t
2
+ 5t + 2 a pour racines t 1 =
5 −
√
57
8
≈ −0,32 et t 2 =
5 +
√
57
8
≈ 1,57
y
(t) =
−2t
3
+ 3t
2
(1 − t) 2 est du signe de 3 − 2t .
On en déduit le tableau de variation :
147
F I C H E 2 8 – C o u r b e s p a r a m é t r é e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
8
t
t 1
t 2
x'(t)
y'(t)
y(t)
x(t)
– ∞
– ∞
– ∞
– ∞
– ∞
– ∞
– ∞
+ ∞
+ ∞
+ ∞
0
0
0
0
0
0
0
1
1,5
+
+
+
+
0
+
+
–
–
–
Figure 28.5