A p p l i c a t i o n
Étudiez et construisez la courbe C définie en coordonnées polaires par :
ρ =
θ
θ − π
4
·
Étudiez en particulier les branches infinies et les points doubles.
S o l u t i o n
• Pour obtenir la courbe, θ doit décrire R \ {
π
4
} .
Comme ρ
(θ) =
−
π
4
θ − π
4
2 < 0 , on a le tableau de variations :
152 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
ρ'(θ)
ρ(θ)
– ∞
– ∞
+ ∞
+ ∞
1
1
–
–
4
π
θ
Figure 29.1
• Pour étudier la branche infinie au voisinage de
π
4
posons h = θ −
π
4
·
ρ sin h =
h +
π
4
h
sin h =
π
4
+ h + o(h) .
La courbe C admet donc pour asymptote la droite d'équation Y =
π
4
dans le repère
(O,
−→
O X,
− →
OY ) tel que (
− →
Ox,
−→
O X) =
π
4
et (
−→
O X,
− →
OY ) =
π
2
·
• Lorsque θ tend vers ±∞, comme lim
θ−→−∞
ρ(θ) = 1
− et lim
θ−→+∞
ρ(θ) = 1
+ , la courbe C
admet pour cercle asymptote le cercle de centre O et de rayon 1.
• Les points doubles peuvent s'obtenir à partir des deux égalités :
ρ(θ + 2kπ) = ρ(θ) avec k ∈ Z
∗ , ce qui est impossible ici ;