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F I C H E 2 8 – C o u r b e s p a r a m é t r é e s
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II Étude locale
Soit p le plus petit entier tel que
− →
F
( p)
(t 0 ) = /
− →
0 et q (p < q) l'ordre de la première
dérivée telle que
− →
F
( p)
(t 0 ),
− →
F
(q)
(t 0 )
forme une base du plan vectoriel.
− →
F
( p)
(t 0 ) est un vecteur directeur de la tangente en M(t 0 ) à .
Si p = / 1, le point M(t 0 ) est stationnaire (ou singulier). Si p = 1, c'est un point
régulier. Si p = 1 et q = 2 , c'est un point birégulier.
Si p impair et q pair, M(t 0 ) est un point ordinaire (cf. fig. 28.1).
Si p impair et q impair, M(t 0 ) est un point d'inflexion (cf. fig. 28.2).
Si p pair et q impair, M(t 0 ) est un point de rebroussement de première espèce
(cf. fig. 28.3).
Si p pair et q pair, M(t 0 ) est un point de rebroussement de deuxième espèce
(cf. fig. 28.4).
M 0
F
( )
p
( )
t 0
F
( )
q
( )
t 0
Γ
Figure 28.1
M 0
F
( )
p
( )
t 0
F
( )
q
( )
t 0
Γ
Figure 28.2
( )
p
M 0
F ( )
t 0
F
( )
q
( )
t 0
Γ
Figure 28.3
M 0
F
( )
p
( )
t 0
F
( )
q
( )
t 0
Γ
Figure 28.4
III Branches infinies
La courbe présente une branche infinie pour t tendant vers t 0 (t 0 fini ou non) si
au moins une des coordonnées x(t) et y(t) de M tend vers l'infini lorsque t tend
vers t 0 .
• Si x(t) → x 0 ∈ R et y(t) → ±∞ , alors la droite x = x 0 est asymptote à .
• Si x(t) → ±∞ et y(t) → y 0 ∈ R, alors la droite y = y 0 est asymptote à .