144 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Courbes
paramétrées
I Généralités
• Courbe paramétrée
Soit
− →
F une fonction vectorielle de classe C
k (k aussi grand que nécessaire) définie sur une partie non vide D de R et à valeurs dans R
2 ou R
3 . L'ensemble des
points M tels que
− − →
O M =
− →
F (t)
t ∈ D
est une courbe paramétrée.
Si D est un intervalle, il s'agit d'un arc de courbe.
On dit que
− →
F (t) est une représentation paramétrique de , ou encore que a pour
équations paramétriques :
x = x(t) ; y = y(t)
t ∈ D .
FICHE 28
Une même courbe Γ (ensemble de points) a plusieurs paramétrages.
• Représentation propre
Pour construire , on détermine d'abord un domaine de représentation propre,
c'est-à-dire une partie D 1 de D telle que la courbe géométrique soit entièrement
décrite, et une seule fois, lorsque t décrit D 1 .
• Domaine d'étude
Si x et y sont deux fonctions impaires, est symétrique par rapport au point O et
il suffit de faire l'étude sur D 1 ∩ R + .
Si x est paire et y impaire, est symétrique par rapport à l'axe des abscisses et il
suffit de faire l'étude sur D 1 ∩ R + .
Si x est impaire et y paire, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et il
suffit de faire l'étude sur D 1 ∩ R + .