2. ω est tangent intérieurement à C et C
On a alors
M O = R − r
M O
= R
− r
d'où M O − M O
= R − R
.
Dans les cas 1 et 2, M appartient à une branche de l'hyperbole de foyers O et O
avec
R − R
= 2a. Cette hyperbole passe par A et B.
Réciproquement, tout point de cet arc d'hyperbole convient en posant r = M O − R
ou r = R − M O.
3. ω est tangent extérieurement à C et intérieurement à C
On a alors
M O = R + r
M O
= R
− r
d'où M O + M O
= R + R
.
4. ω est tangent intérieurement à C et extérieurement à C
On a alors
M O = R − r
M O
= R
+ r
d'où M O + M O
= R + R
.
Dans les cas 3 et 4, M appartient à l'ellipse de foyers O et O
avec R + R
= 2a.
Cette ellipse passe par A et B.
Réciproquement, tout point de cette ellipse convient en posant r = M O − R ou
r = R − M O.
A p p l i c a t i o n
Étudiez la conique d'équation : x
2
+ xy + y
2
− 4x − 5y + 2 = 0.
S o l u t i o n
Posons f (x,y) = x
2
+ xy + y
2
− 4x − 5y + 2. Le système :
− − →
grad f (x,y) =
− →
0 ⇐⇒
2x + y − 4 = 0
x + 2y − 5 = 0
⇐⇒
x = 1
y = 2
a une solution unique. La conique a donc un centre (1,2).
142 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s