A p p l i c a t i o n
On considère la conique d'équation :
2x
2
+ 3y
2
− 4x + 18y + 11 = 0 .
Déterminez sa nature et les éléments géométriques particuliers qui lui sont associés.
S o l u t i o n
L'équation de la conique peut s'écrire :
2(x
2
− 2x) + 3(y
2
+ 6y) + 11 = 0 ⇐⇒ 2(x − 1)
2
+ 3(y + 3)
2
= 18
⇐⇒
(x − 1)
2
9
+
(y + 3)
2
6
= 1
Il s'agit donc d'une ellipse de centre (1,−3) .
Comme 9 > 6, l'axe focal est parallèle à (Ox).
De a = 3 et b =
√
6 , on déduit les coordonnées des sommets
situés sur l'axe focal : (−2,−3) et (4,−3),
non situés sur l'axe focal : (1,−3 −
√
6) et (1,−3 +
√
6) .
Comme c =
√
a 2 − b 2 =
√
3 , les foyers ont pour coordonnées : (1 −
√
3,−3) et
(1 +
√
3,−3) .
L'excentricité est e =
c
a
=
√
3
3
·
Comme
a
2
c
= 3
√
3, les directrices ont pour équations : x = 1 − 3
√
3 et x = 1 + 3
√
3.
A p p l i c a t i o n
On considère deux cercles C(O,R) et C
(O
,R
) avec R > R
, qui sont sécants en A
et B. Montrez que les centres des cercles tangents à C et C
appartiennent à une hyperbole et à une ellipse à préciser.
S o l u t i o n
Considérons un cercle ω de centre M et de rayon r qui soit tangent à C et C
. Quatre
cas sont à envisager.
1. ω est tangent extérieurement à C et C
On a alors
M O = R + r
M O
= R
+ r
d'où M O − M O
= R − R
.
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F I C H E 2 7 – C o n i q u e s
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