• Équation des asymptotes
y =
b
a
x ; y = −
b
a
x .
• Représentation paramétrique
x = a ch θ
y = b sh θ
θ ∈ R .
• Définition bifocale
Soit F et F
deux points distincts du plan et a un réel tel que 0 < 2a < F F
.
L'ensemble des points M du plan tels que |M F − M F
| = 2a est une hyperbole de
foyers F et F
.
V Courbes du second degré
Une conique (éventuellement vide ou dégénérée) est l'ensemble des points du plan
vérifiant une équation de la forme :
ϕ(x,y) = a x
2
+ 2b xy + c y
2
+ d x + e y + f = 0 .
• Recherche des axes de la forme réduite
La forme quadratique q(x,y) = a x
2
+ 2b xy + c y
2 a pour matrice associée
M =
a b
b c
. Elle est symétrique et réelle. Elle est donc diagonalisable dans une
base (
− →
I ,
− →
J ) associée aux valeurs propres λ 1 et λ 2 .
• Recherche du centre éventuel
Si la résolution du système :
− − →
grad ϕ(x,y) =
− →
0 soit
2a x + 2b y + d = 0
2b x + 2c y + e = 0
conduit à une solution unique (soit det M = / 0), il s'agit du centre de la conique.
• Forme réduite
Si existe, dans le repère ((;
− →
I ,
− →
J ) , l'équation devient :
λ 1 X
2
+ λ 2 Y
2
+ k = 0
où k = ϕ(().
140 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s