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F I C H E 2 7 – C o n i q u e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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Si F
et D
sont les symétriques de F et D par rapport à O, l'ellipse de foyer F
, de
directrice D
et d'excentricité e est la même ellipse.
On pose A A
= 2a et B B
= 2b. Dans le repère orthonormal d'origine O et admettant l'axe focal comme axe des abscisses et l'axe non focal comme axe des ordonnées, l'équation de E est :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1 .
En posant c =
√
a 2 − b 2 (possible car a b), on a F F
= 2c, e =
c
a
et D a pour équation x =
a
2
c
·
• Représentation paramétrique
x = a cos θ
y = b sin θ
θ ∈ [0,2π[ .
• Définition bifocale
Soit F et F
deux points distincts du plan et a un réel tel que F F
< 2a .
L'ensemble des points M du plan tels que M F + M F
= 2a est une ellipse de
foyers F et F
.
IV Hyperbole
• Équation réduite
L'hyperbole H et son axe focal ont deux
points communs, les sommets A et A
.
Le milieu O de [A A
] est le centre de H .
La médiatrice de [A A
] est l'axe non focal.
Il ne rencontre pas l'hyperbole.
Si F
et D
sont les symétriques de F et D
par rapport à O, l'hyperbole de foyer F
,
de directrice D
et d'excentricité e est la
même hyperbole.
On pose A A
= 2a, F F
= 2c et b
2
= c
2
− a
2 .
Dans le repère orthonormal d'origine O et admettant l'axe focal comme axe des
abscisses et l'axe non focal comme axe des ordonnées, l'équation de H est :
x
2
a 2 −
y
2
b 2 = 1 .
On a e =
c
a
et D a pour équation x =
a
2
c
·
y
A
x
F
O
F'
A'
B
D'
D
H
Figure 27.3