138 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Coniques
I Définition par foyer et directrice
Soit F un point du plan affine euclidien, D une droite ne passant pas par F, e un
réel strictement positif.
L'ensemble des points M tels que
M F
d(M,D)
= e est la conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e.
C'est une ellipse si e < 1, une parabole si e = 1, une hyperbole si e > 1.
La perpendiculaire à D passant par F est l'axe focal de la conique.
II Parabole
La parabole P et son axe focal ont un
point commun unique, le sommet S.
Dans le repère orthonormal d'origine S et
admettant l'axe focal comme axe des abscisses, l'équation de P est :
y
2
= 2 px
où p est le paramètre de la parabole.
F a pour coordonnées
p
2
,0
; D a pour équation x = −
p
2
·
III Ellipse
• Équation réduite
L'ellipse E et son axe focal ont deux points
communs, A et A
, sommets de l'axe focal.
Le milieu O de [A A
] est le centre de E .
La médiatrice de [A A
] est l'axe non focal.
Elle coupe l'ellipse en B et B
, sommets de
l'axe non focal.
FICHE 27
y
x
S
F
P
D
Figure 27.1
y
A
x
F
B'
O
F'
A'
B
D'
D
ε
Figure 27.2