A p p l i c a t i o n
Déterminez l'angle aigu entre les plans :
P d'équation 2x − y + z = 3 et P
d'équation x + y + 2z = 7.
S o l u t i o n
Les plans P et P
ont pour vecteurs normaux respectifs − → n (2,−1,1) et
− →
n
(1,1,2) .
L'angle aigu α entre les deux plans est aussi celui entre ces deux vecteurs. On a donc :
cos α =
− → n ·
− →
n
− → n
− →
n
=
3
√
6
√
6
=
1
2
d'où α =
π
3
·
A p p l i c a t i o n
Déterminez un système d'équations de la droite passant par A(1,−1,2) et coupant
les droites :
D 1
2x − y + 3z − 1 = 0
x + 2y + z + 2 = 0
et
D 2
x − y + z + 3 = 0
x + 2y + 5z + 1 = 0
S o l u t i o n
Comme A /
∈ D 1 , le point A et la droite D 1 définissent un plan P 1 . De même, il existe
un seul plan P 2 contenant A et D 2 .
La droite cherchée est l'intersection de P 1 et P 2 .
Considérons deux points de D 1 , par exemple B 1 (0,−1,0) et C 1 (−7,0,5).
Tout point M(x,y,z) de P 1 est tel que
−→
AM ,
− − →
AB 1 et
− − →
AC 1 soient coplanaires, ce qui
peut s'écrire :
0 = det
−→
AM,
− − →
AB 1 ,
− − →
AC 1
=
x − 1 −1 −8
y + 1 0
1
z − 2 −2 3
= 2x + 19y − z + 19 .
À partir des points B 2 (0,2,−1) et C 2 (7,6,−4) de D 2 , on obtient de même une équation de P 2 :
0 = det
−→
AM,
− − →
AB 2 ,
− − →
AC 2
=
x − 1 −1 6
y + 1 3
7
z − 2 −3 −6
= 3x − 24y − 25z + 23 .
136 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s