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F I C H E 2 6 – C a l c u l v e c t o r i e l e t d i s t a n c e s
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Le vecteur − → n (a,b,c) est normal à P. La distance de M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) à P est :
d(M 0 ,P) =
|ax 0 + by 0 + cz 0 + d|
√
a 2 + b 2 + c 2
.
La distance de M 0 à la droite D passant par A et de vecteur directeur − → u est :
d(M 0 ,D) =
− − →
M 0 A ∧ − → u
− → u
.
III Distance entre deux droites
• Perpendiculaire commune
Soit D 1 (A 1 , − → u 1 ) et D 2 (A 2 , − → u 2 ) deux droites non parallèles définies par un point et
un vecteur directeur.
La perpendiculaire commune à D 1 et D 2 est l'unique droite qui rencontre D 1 et
D 2 et qui est orthogonale à D 1 et D 2 .
Elle est définie par :
M ∈ ⇐⇒
det
−−→
A 1 M, − → u 1 , − → u 1 ∧ − → u 2
= 0
det
−−→
A 2 M, − → u 2 , − → u 1 ∧ − → u 2
= 0.
• Distance entre deux droites
d(D 1 ,D 2 ) =
det
−−→
A 1 A 2 , − → u 1 , − → u 2
− → u 1 ∧ − → u 2
.