134 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Calcul vectoriel
et distances
I Calcul vectoriel
Soit (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) une base orthonormale de l'espace R
3 muni du produit
scalaire canonique et − → u = x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k , − → v = x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k et
− → w = x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k trois vecteurs. On sait calculer :
• le produit scalaire de deux vecteurs
− → u · − → v = x x
+ yy
+ zz
;
• le produit vectoriel de deux vecteurs
− → u ∧ − → v = (yz
− zy
)
− →
i + (zx
− xz
)
− →
j + (xy
− yx
)
− →
k ;
• le produit mixte de trois vecteurs
( − → u , − → v , − → w ) = − → u · ( − → v ∧ − → w ) = det( − → u , − → v , − → w ) .
II Distance
d'un point à une droite ou à un plan
• Dans le plan
Soit D la droite d'équation : ax + by + c = 0.
Le vecteur − → n (a,b) est normal à D.
La distance de M 0 (x 0 ,y 0 ) à D est : d(M 0 ,D) =
|ax 0 + by 0 + c|
√
a 2 + b 2
.
• Dans l'espace
Soit P le plan d'équation : ax + by + cz + d = 0 .
FICHE 26