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F I C H E 2 5 – M a t r i c e s s y m é t r i q u e s r é e l l e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
Démontrez que
A =





1 − i −7
4
−5
−7 2− i 14
37
4
14 3− i −21
−5
37
−21 4 − i





∈ M 4 (C)
est inversible.
S o l u t i o n
La matrice A s'écrit sous la forme A = M − iI 4 où M est réelle et symétrique.
Comme le polynôme caractéristique de M est scindé sur R, toutes les valeurs propres
de M sont réelles.
i n'est donc pas valeur propre de M, d'où det (M − iI 4 ) = / 0 ; ou encore det A = / 0, ce
qui démontre que A est inversible.
A p p l i c a t i o n
Soit A =
a i j
une matrice symétrique réelle d'ordre n dont les valeurs propres sont
λ 1 ,. . . ,λ n . Montrez que :
i, j
a
2
i j =
i
λ
2
i .
S o l u t i o n
Pour une matrice carrée A quelconque on a
i, j
a
2
i j = tr(
t A A) (cf. fiche 22).
Comme A est symétrique, on a donc
i, j
a
2
i j = tr(A
2
) .
A étant symétrique et réelle est semblable à une matrice diagonale
D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n )
où les λ i sont les valeurs propres de A. On a alors A
2 semblable à D
2 et, comme deux
matrices semblables ont la même trace :
i, j
a
2
i j = tr(A
2
) = tr(D
2
) =
n
i=1
λ
2
i .