132 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Matrices
symétriques réelles
I Endomorphisme symétrique
• Définition
Dans un espace euclidien E, f ∈ L(E) est symétrique si :
∀x ∈ E ∀y ∈ E
< f (x)|y >=< x| f (y) > .
• Écriture matricielle
Si A est la matrice de f dans une base orthonormale B, on a
f symétrique ⇐⇒
t A = A.
II Diagonalisation
• Diagonalisation des endomorphismes symétriques
Soit f un endomorphisme symétrique de E.
– Le polynôme caractéristique de f est scindé sur R.
– f est diagonalisable dans une base orthonormale.
– E est somme directe orthogonale des sous-espaces propres de f.
• Diagonalisation des matrices symétriques réelles
Si A est une matrice carrée symétrique, il existe une matrice diagonale D et une
matrice orthogonale P telles que :
A = P D P
−1
= P D
t P .
FICHE 25
Le calcul de P
−1 est immédiat puisque P
−1 =
t P .
• Forme quadratique et valeurs propres
Soit A une matrice symétrique réelle et q la forme quadratique associée ;
q est positive ⇐⇒ les valeurs propres de A sont 0 ;
q est définie positive ⇐⇒ les valeurs propres de A sont > 0.