


8x − y − 4z = 9x
−x + 8y − 4z = 9y
−4x − 4y − 7z = 9z
⇐⇒ x + y + 4z = 0 .
L'ensemble des vecteurs invariants par f est le plan P d'équation
x + y + 4z = 0.
f est donc la réflexion par rapport à P.
A p p l i c a t i o n
Dans l'espace vectoriel euclidien R
3 muni de sa base canonique, déterminez la
matrice de la rotation d'angle
π
2
et d'axe dirigé par le vecteur (1,1,1) .
S o l u t i o n
Soit ( − → e 1 , − → e 2 , − → e 3 ) la base canonique de R
3 et − → w =
1
√
3
(1,1,1) un vecteur unitaire de
l'axe de la rotation r.
On peut choisir un vecteur unitaire orthogonal à l'axe − → u =
1
√
2
(1,−1,0) .
On aura alors r( − → u ) = − → v avec − → v = − → w ∧ − → u =
1
√
6
(1,1,−2) .
Comme θ =
π
2
, on a pour tout vecteur − → x de R
3
r ( − → x ) = ( − → w · − → x ) − → w + − → w ∧ − → x .
En calculant r ( − → e 1 ), r ( − → e 2 ) et r ( − → e 3 ) dans la base canonique, on obtient les colonnes
de la matrice cherchée, soit :
A =
1
3


1
1−
√
3 1 +
√
3
1 +
√
3
1
1−
√
3
1 −
√
3 1 +
√
3
1

 .
131
F I C H E 2 4 – G r o u p e o r t h o g o n a l
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
4