S o l u t i o n
Observons tout d'abord que A est symétrique puisque :
t A = I n − 2
t
(U
t U ) = I n − 2U
t U = A .
On a donc :
t A A = A
2
= (I n − 2U
t U ) (I n − 2U
t U ) = I n − 4U
t U + 4 (U
t U ) (U
t U ) .
Le produit de matrices étant associatif, on a :
(U
t U ) (U
t U ) = U (
t UU )
t U = U
t U puisque
t UU =
n
i=1
u
2
i = 1 .
Par conséquent,
t A A = I n , ce qui prouve que A est orthogonale.
A symétrique et orthogonale est la matrice d'une symétrie orthogonale.
On a AU = U − 2U
t UU = U − 2U = −U .
D'autre part, si V est orthogonal à U , soit
t U V = 0, alors AV = V.
L'automorphisme de R
n représenté par A dans la base canonique est donc la symétrie
orthogonale par rapport à l'hyperplan orthogonal à U .
A p p l i c a t i o n
E = R
3 étant rapporté à sa base canonique orthonormale, étudiez f ∈ L(E) dont la
matrice est :
M =
1
9


8 −1 −4
−1 8 −4
−4 −4 −7

 .
S o l u t i o n
Désignons par C 1 , C 2 et C 3 les vecteurs colonnes de M. On a :
0 =< C 1 |C 2 >=< C 1 |C 3 >=< C 2 |C 3 >
1 =< C 1 |C 1 >=< C 2 |C 2 >=< C 3 |C 3 >
La matrice M est donc orthogonale et f est un automorphisme orthogonal de E.
Un vecteur X =


x
y
z

 est invariant par f si, et seulement si :
130 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s