A p p l i c a t i o n
Soit A =
a i j
une matrice orthogonale réelle d'ordre n. Montrez que
i, j
a i j
n .
S o l u t i o n
Notons C 1 ,. . . ,C n les matrices colonnes de A, que l'on peut considérer comme des
vecteurs de R
n . Leur somme C 1 + · · · + C n est le vecteur de R
n dont les composantes
sont
n
j=1
a i j .
Pour obtenir
i, j
a i j , il reste à considérer le vecteur U de R
n dont toutes les composantes sont égales à 1, et le produit scalaire :
(C 1 + · · · + C n ) · U =
n
i=1
n
j=1
a i j .
L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :
i, j
a i j
n
j=1
C j
U .
On a U =
√
n . De plus, on a supposé A orthogonale c'est-à-dire que les vecteurs C j
sont deux à deux orthogonaux et unitaires, ce qui entraîne :
n
j=1
C j
2 =
n
j=1
C j
2
= n soit
n
j=1
C j
=
√
n .
On obtient donc :
i, j
a i j
n .
A p p l i c a t i o n
Soit U =


u 1
. . .
u n

 ∈ M n,1 (R) telle que
n
i=1
u
2
i = 1 .
Montrez que la matrice A = I n − 2U
t U ∈ M n (R) est orthogonale.
Identifiez l'automorphisme de R
n qu'elle définit.
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F I C H E 2 4 – G r o u p e o r t h o g o n a l
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