On a det A = 1 et tr A = 2 cos θ.
• Réflexions
La matrice de la réflexion d'axe dans une base B est de la forme :
cos θ
sin θ
sin θ − cos θ
mais elle dépend de B. Dans une base adaptée, elle s'écrit :
1 0
0 −1
.
est l'ensemble des vecteurs invariants. On a det B = −1 et tr B = 0.
IV Cas de la dimension 3
Le classement se fait suivant la dimension de V = Ker( f − Id E ), espace vectoriel
des vecteurs invariants par f.
• Cas dim V = 3 : on a alors f = Id E .
• Cas dim V = 2 : f est alors la réflexion par rapport à V. Dans une base adaptée,
sa matrice est :


1 0 0
0 1 0
0 0 −1

 .
• Cas dim V = 1 : f est alors une rotation d'axe V. Si on oriente l'axe et si on note
son angle θ, sa matrice dans une base adaptée directe, est :



cos θ − sin θ 0
sin θ
cos θ 0
0
0
1


 .
Étude pratique d'une rotation
Si r est la rotation d'axe dirigé par un vecteur unitaire − → n et d'angle θ, on a :
r( − → x ) =
− → n · − → x
− → n + cos θ
− → x −
− → n · − → x
− → n
+ sin θ − → n ∧ − → x .
Réciproquement, soit f un automorphisme orthogonal dont l'ensemble des vecteurs
invariants est une droite de vecteur directeur unitaire − → n .
C'est une rotation dont l'angle θ vérifie trA = 1 + 2 cos θ .
128 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s