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F I C H E 2 4 – G r o u p e o r t h o g o n a l
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II Matrices orthogonales
• Définition
Une matrice carrée A est dite orthogonale si c'est la matrice de passage d'une base
orthonormale B à une base orthonormale B
.
L'ensemble des matrices orthogonales d'ordre n est le groupe orthogonal d'ordre n ;
il est noté O(n).
• Conditions équivalentes
Une matrice carrée est orthogonale si, et seulement si, ses vecteurs colonnes (et
aussi ses vecteurs lignes) vérifient :
∀i ∈ {1,. . . ,n} ∀j ∈ {1,. . . ,n}
< C i |C j >= δ i j .
Une matrice carrée d'ordre n est orthogonale si, et seulement si :
t A A = I n ⇐⇒
t A = A
−1 .
• Lien avec les endomorphismes
Soit B une base orthonormale d'un espace euclidien E et A la matrice de f ∈ L(E)
dans B. On a :
A ∈ O(n) ⇐⇒ f ∈ O(E) .
Le groupe O(n) pour le produit de matrices est isomorphe au groupe O(E) pour la
composition des applications.
• Déterminant d'une matrice orthogonale
Si A est une matrice orthogonale, on a det A = ±1 .
Attention,la condition est nécessaire mais non suffisante.
• Groupe spécial orthogonal
On appelle groupe spécial orthogonal SO (E), ou groupe des rotations de E, le sousgroupe de O(E) formé des automorphismes orthogonaux de déterminant égal à 1.
De même pour les matrices : SO (n) = {A ∈ O(n) ; det A = 1} .
III Cas de la dimension 2
• Rotations
La rotation d'angle θ appartient à SO(E). Dans toute base B orthonormale directe,
sa matrice s'écrit :
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
.