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Groupe orthogonal
I Endomorphismes orthogonaux
• Définition
Dans un espace vectoriel euclidien E, un endomorphisme f est dit orthogonal s'il
conserve le produit scalaire, soit :
∀x ∈ E
∀y ∈ E
< f (x)| f (y) >=< x|y > .
On dit aussi que f est une isométrie vectorielle.
• Conditions équivalentes
f ∈ L(E) est orthogonal si, et seulement si, il vérifie l'une des conditions suivantes :
– f conserve la norme, soit
∀x ∈ E
f (x) = =x
– il existe une base orthonormale B telle que f (B) soit une base orthonormale ;
– pour toute base orthonormale B, f (B) est une base orthonormale.
• Corollaire
Un endomorphisme orthogonal f appartient à GL(E). Il est appelé automorphisme
orthogonal de E.
Ses seules valeurs propres possibles sont 1 et −1.
• Exemples
Les symétries orthogonales sont des automorphismes orthogonaux.
Mais un projecteur orthogonal distinct de l'identité n'en est pas un ; si x ∈ Ker p
avec x = / 0, on a p(x) < x.
• Groupe orthogonal
L'ensemble des automorphismes orthogonaux de E est noté O(E) et appelé groupe
orthogonal de E. C'est un sous-groupe de GL(E).
FICHE 24