Son minimum est atteint pour un unique élément a 0 x
2
+ b 0 x de F tel que
x ln x − (a 0 x
2
+ b 0 x) soit orthogonal à F, ce qui est équivalent à :

   
   
0 =< x ln x − a 0 x
2
− b 0 x|x >=
1
0
x
2 ln x − a 0 x
3
− b 0 x
2
dx
0 =< x ln x − a 0 x
2
− b 0 x|x
2
>=
1
0
x
3 ln x − a 0 x
4
− b 0 x
3
dx
En intégrant par parties, on obtient :
1
0
x
2 ln x dx = −
1
9
;
1
0
x
3 ln x dx = −
1
16
,
d'où :
a 0
5
+
b 0
4
= −
1
16
a 0
4
+
b 0
3
= −
1
9

 
 
⇐⇒

 
 
a 0 =
5
3
b 0 = −
19
12
Sans calculatrice, le calcul direct de
1
0
x ln x −
5
3
x
2
+
19
12
x
2 dx est long.
Dans ce cas, Il vaut mieux utiliser le théorème de Pythagore et calculer
x ln x
2 −
5
3
x
2
−
19
12
x
2 .
x ln x
2 =
1
0
x
2 ln
2 x dx =
x
3
3
ln
2 x
1
0
−
1
0
2
x
2
3
ln x dx =
2
27
5
3
x
2
−
19
12
x
2 =
1
0
25
9
x
4
−
95
18
x
3
+
361
144
x
2
dx =
31
432
Donc
inf
(a,b)∈R 2
1
0
x ln x − ax
2
− bx
2 dx =
2
27
−
31
432
=
1
432
·
125
F I C H E 2 3 – O r t h o g o n a l i t é
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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