Le système est donc orthogonal, et même orthonormal puisque les e i sont supposés
unitaires.
On sait qu'un système orthogonal de vecteurs non nuls est une famille libre.
Il reste à montrer que c'est une famille génératrice de E.
• Soit F = Vect (e 1 ,. . . ,e n ) et montrons que F = E en déterminant F
⊥ .
Soit x ∈ F
⊥ , c'est-à-dire que < x|e i >= 0 pour tout i. En utilisant l'hypothèse, on en
déduit :
x
2
=
n
i=1
< x|e i >
2
= 0
d'où x = 0. On a donc F
⊥
= {0} et, par conséquent, F = E.
A p p l i c a t i o n
Déterminez : inf
(a,b)∈R 2
1
0
x ln x − ax
2
− bx
2 dx .
S o l u t i o n
Dans E = C
[0,1],R
, muni du produit scalaire
< f |g >=
1
0
f (x) g(x)dx ,
considérons le sous-espace vectoriel F = Vect(x,x
2
).
La fonction x → x ln x , prolongée par continuité en 0, appartient à E.
1
0
x ln x − ax
2
− bx
2 dx
est alors le carré de la distance de x ln x à F.
124 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
x ln x
a 0 x 2 + b 0 x
F
Figure 23.1
unitaires.
On sait qu'un système orthogonal de vecteurs non nuls est une famille libre.
Il reste à montrer que c'est une famille génératrice de E.
• Soit F = Vect (e 1 ,. . . ,e n ) et montrons que F = E en déterminant F
⊥ .
Soit x ∈ F
⊥ , c'est-à-dire que < x|e i >= 0 pour tout i. En utilisant l'hypothèse, on en
déduit :
x
2
=
n
i=1
< x|e i >
2
= 0
d'où x = 0. On a donc F
⊥
= {0} et, par conséquent, F = E.
A p p l i c a t i o n
Déterminez : inf
(a,b)∈R 2
1
0
x ln x − ax
2
− bx
2 dx .
S o l u t i o n
Dans E = C
[0,1],R
, muni du produit scalaire
< f |g >=
1
0
f (x) g(x)dx ,
considérons le sous-espace vectoriel F = Vect(x,x
2
).
La fonction x → x ln x , prolongée par continuité en 0, appartient à E.
1
0
x ln x − ax
2
− bx
2 dx
est alors le carré de la distance de x ln x à F.
124 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
x ln x
a 0 x 2 + b 0 x
F
Figure 23.1