A p p l i c a t i o n
Soit E un espace vectoriel euclidien et f une application de E dans E qui conserve le
produit scalaire, soit
∀x ∈ E
∀y ∈ E
< f (x)| f (y) >=< x|y > .
Montrez que f est linéaire.
S o l u t i o n
Soit x 1 ∈ E, x 2 ∈ E, λ 1 ∈ R et λ 2 ∈ R ; montrons que :
z = f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) − λ 1 f (x 1 ) − λ 2 f (x 2 ) = 0 .
Le vecteur z appartient à Vect
f (E)
.
Pour tout y ∈ E, l'hypothèse vérifiée par f et les propriétés d'un produit scalaire entraînent :
< f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 )| f (y) > =< λ 1 x 1 + λ 2 x 2 |y >
= λ 1 < x 1 |y > +λ 2 < x 2 |y >
= λ 1 < f (x 1 )| f (y) > +λ 2 < f (x 2 )| f (y) >
=< λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 )| f (y) >
Par conséquent < z| f (y) >= 0 pour tout y ∈ E, soit z ∈
Vect
f (E)
⊥ .
On a donc : z ∈ Vect
f (E)
∩
Vect
f (E)
⊥ , c'est-à-dire z = 0.
A p p l i c a t i o n
Dans un espace vectoriel euclidien E, on considère une famille (e 1 ,. . . ,e n ) de vecteurs unitaires tels que
∀x ∈ E
x
2
=
n
i=1
< x|e i >
2 .
Montrez qu'il s'agit d'une base orthonormale de E.
S o l u t i o n
• En écrivant l'hypothèse pour x = e j , on a :
e j
2
=
n
i=1
< e j |e i >
2
= =e j
2
+
1in
i /
= j
< e j |e i >
2
D'où < e j |e i >= 0 pour j = / i.
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F I C H E 2 3 – O r t h o g o n a l i t é
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